در بین گیاهان، میوه‌ها، کوه‌ها، ساختمان‌ها و... می‌توان نمونه‌هایی از آنها را یافت. به عکس‌های زیر نگاه کنید. به سختی می‌توان باور کرد این تصویرهای زیبا، که توسط برنامه‌های پیشرفته کامپیوتری کشیده شده‌اند، یکی از مبحث‌های مهم و جالب در علم ریاضیات باشد. البته شاید در نگاه اول نتوانید متوجه ویژگی مشترک آنها شوید و به ارتباطشان با دنیای واقعی پی‌ببرید، اما اگر با تعریف آنها آشنا شوید، چه بسا خودتان هم بتوانید مدل تازه‌ای از فراکتال‌ها ارائه کنید!
«فراکتال» به شکل هندسی‌ای گفته می‌شود که آرایشی تکرارشونده دارد؛ یعنی اگر آن را چند تکه کنیم، هر قسمت تکراری از قسمت دیگر است. به بیان دیگر هر جزء آن نماینده‌ای از کل است.
نمونه‌هایی از فراکتال‌هایی که توسط کامپیوتر کشیده شده‌اند و پیدا کردن کوچک ترین جزء و روش تکرار آنها، کار راحتی نیست
واژه فراکتال از کلمه یونانی به معنی «تکه‌تکه» یا «شکسته شده» گرفته شده و اولین بار در سال 1975 میلادی توسط دانشمندی به نام «مندلبورت» به کار برده شده است. اهمیت فراکتال‌ها در علم ریاضی به این خاطر است که بسیاری از وضعیت‌هایی که هندسه اقلیدسی از توضیح آنها ناتوان است را می‌توان به کمک آنها توجیه کرد. همین دلیل باعث گستردگی و کاربرد فراوان فراکتال‌ها در سایر علوم مثل فیزیک، شیمی، نجوم، زمین‌شناسی و حتی هنر و معماری شده است!
برای درک بهتر موضوع بد نیست چند فراکتال ساده و معروف را بررسی کنیم و با چگونگی ساخت آنها آشنا شویم.
یکی از مشهورترین فراکتال‌ها توسط ریاضیدانی به نام «فون‌کخ» در سال 1904 ابداع شد. در این فراکتال که به «دانه برفی کخ» شهرت دارد، ابتدا یک مثلث متساوی‌الاضلاع را در نظر می‌گیریم و هر ضلع آن را به سه قسمت تقسیم می‌کنیم؛ سپس به جای پاره خط وسط هر ضلع، یک مثلث متساوی‌الاضلاع دیگر جایگزین می‌کنیم و این عمل را بارها تکرار می‌کنیم. به این نوع فراکتال‌ها، فراکتال «خود متشابه» گفته می شود، چرا که هر قسمت آن با تکه بزرگ‌تر شبیه است.
روش ساخت فراکتال« دانه برفی کخ» که کوچک ترین جزء آن مثلث متساوی‌الاضلاع است
نمونه بزرگ شده فراکتال دانه برفی کخ
فراکتال دیگر به «اژدهای هرتر‌های‌وی» معروف است و بر خلاف اسم عجیبش روش ساخت ساده‌ای دارد! این شکل از یک تکه خط راست و تکرار و چسباندن آنها با زاویه
90 درجه به یکدیگر تشکیل شده است.
جدول ساخت اژدهای «هرترهای وی »، به نحوه تکرار و بزرگ شدن شکل دقت کنید
اگر به جدول چگونگی ساخت این فراکتال دقت کنید، می‌بینید که هر خانه از تکرار خانه قبلی پدید آمده است. البته باید گفت که در بسیاری از فراکتال‌ها روند بزرگ‌شدن، از دستورهای ریاضی ویژه‌ای پیروی می‌کند که هر یک در طبقه‌بندی جداگانه‌ای قرار دارند.
یکی از ویژگی‌های مهم و در عین حال پیچیده فراکتال‌ها این است که بُعد کسری یا اعشاری دارند. همان‌طور که می‌دانید نقطه بُعد ندارد و خط یک بُعد و صفحه دو بُعد و حجم‌ها سه بُعد دارند.
اما در هندسه فراکتال‌ها صحبت از شکل‌هایی می‌شود که بُعدهای کسری دارند. مثلاَ اگر صفحه‌ای از کاغذ (با ضخامت نزدیک به صفر) را مچاله کنیم، حجمی به دست می‌آید که بُعد اعشاری دارد.
نوعی کلم بروکلی که نمونه‌ای از فراکتال طبیعی تلقی می‌شود
همان‌طور که در ابتدا گفته شد، نمونه‌های زیبایی از فراکتال‌ها در طبیعت وجود دارد که می‌توانید به سراغشان بروید و نحوه ساخت آنها را از نزدیک بررسی کنید. کلم بروکلی، برگ سرخس، ریشه درخت‌ها، دانه‌های برف و... از این قبیل هستند.
* معادل فارسی فراکتال، «برخال» است که تکرار شوندگی یکی از ویژگی‌های آن است.
